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Cálculo Diferencial e Integral I

Solução do 2º Teste, versão B, 2017/01/09

  1. Calcule, se existirem em $\overline{\mathbb{R}}$, os seguintes limites:
    1. \[\lim_{x\to {\pi/2}}\frac{1-\sen x}{\cos x}.\]
      Solução
      A regra de Cauchy é aplicável obtendo-se \[\lim_{x\to {\pi/2}}\frac{1-\sen x}{\cos x}=\lim_{x\to {\pi/2}}\frac{-\cos x}{-\sen x} =0. \]
    2. \[\lim_{x\to 0^-}(1+x)^{1/x^2}.\]
      Solução
      Notamos primeiro que \[(1+x)^{1/x^2}=e^{\log(1+x)/x^2}\] e consideramos o limite do expoente. Para avaliá-lo notamos que é possível aplicar a regra de Cauchy obtendo-se \[\lim_{x\to 0^-}\frac{\log(1+x)}{x^2} = \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{2x(1+x)}=-\infty. \] Assim \[\lim_{x\to 0^-}(1+x)^{1/x^2}=\lim_{x\to -\infty} e^x = 0.\]
    1. Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções:
      1. \[\frac{x}{3+x^2},\]
        Solução
        \[ \int \frac{x}{3+x^2}\, dx =\frac{1}{2}\int \frac{2x}{3+x^2}\, dx =\frac{1}{2}\log (3+x^2).\]
      2. \[\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}.\]
        Solução
        \[ \int \frac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\, dx =2\int \frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}\, dx=2e^{\sqrt x}.\]
    2. Determine a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que \[\begin{cases}f'(x)=(x-1)\arctg x,\\ f(1)=0.\end{cases}\]
      Solução
      Para uma constante $C$ a determinar, devemos ter \begin{align*} f(x) & = \int (x-1)\arctg x \, dx  \\ & = \frac{(x-1)^2}{2}\arctg x - \frac{1}{2}\int \frac{(x-1)^2}{x^2+1}\, dx  \\ & = \frac{(x-1)^2}{2}\arctg x -\frac{1}{2} \int 1 - \frac{2x}{x^2+1}\, dx \\ & = \frac{(x-1)^2}{2}\arctg x -\frac{1}{2} \left(x - \log(x^2+1)\right)+C\end{align*} Tomando $x=1$ verificamos que devemos ter $C=\frac{1}{2}(1-\log 2)$ para verificar $f(1)=0$,
  2. Calcule a área da região plana definida pelas condições \[ 0\leq x\leq \log2 \qquad \text{e}\qquad 0\leq y \leq \dfrac{1}{4-e^x}. \]
    Solução
    Notando que $\dfrac{1}{4-e^x} \geq 0$ para $0\leq x\leq \log2$, verificamos que deve ser \[A=\int^{\log 2}_{0}\dfrac{1}{4-e^x}\,dx.\] Usando a integração por substituição ($t=e^x, x=\log t,  dx/dt=1/t$), obtém-se
    \[\int^{\log 2}_{0}\dfrac{1}{4-e^x}\,dx=\int^{2}_{1}\dfrac{1}{(4-t)t}\,dt=\dfrac{1}{4}\int^{2}_{1}\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t-4}\right)dt=\dfrac{1}{4}\left[\log \left|\dfrac{t}{t-4}\right|\right]^{2}_{1}=\dfrac{1}{4}\log 3.
    \]
  3. Considere a função definida por \[g(x)=\int_x^{x^2} \frac{\sqrt{t}}{\cos t}\, dt.\]
    1. Mostre que $g$ está definida se $x\in {\left]0,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right[}$.
      Solução
      Se $x\in {\left]0,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right[}$ então $x^2\in {\left]0,\frac{\pi}{2}\right[}$, pelo que o intervalo de extremos $x$ e $x^2$ está contido em ${]0,\pi/2[}$. Portanto o intervalo de integração é limitado e fechado estando aí a função integranda definida e sendo contínua. Logo o integral existe e $g$ está de facto definida para todos os valores de $x$ em ${\left]0,\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right[}$.
    2. Calcule $g'(x)$.
      Solução
      Usando o teorema de derivação da função composta, o teorema fundamental do cálculo, e a aditividade do integral relativamente ao intervalo de integração, obtemos \begin{align*}\frac{d}{dx} \int_x^{x^2} \frac{\sqrt{t}}{\cos t}\, dt &= \frac{d}{dx} \left( - \int_{1/2}^x\frac{\sqrt{t}}{\cos t}\, dt + \int_{1/2}^{x^2} \frac{\sqrt{t}}{\cos t}\, dt \right) \\ &= -\frac{\sqrt{x}}{\cos x} + 2x \frac{\sqrt{x^2}}{\cos (x^2)}.\end{align*}
  4. Estude quanto à natureza (convergência simples, absoluta e divergência) as séries seguintes e calcule a soma de uma delas:
    1. \[ \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\sqrt{n(n+3)}}{n^3+3n-1} \]
      Solução
      Dado que todos os termos da série, excepto o correspondente a $n=0$, são positivos, convergência equivale a convergência absoluta para esta série.
      Notando que \[\lim \frac{\frac{\sqrt{n(n+3)}}{n^3+3n-1}}{\frac{1}{n^2}}=1, \] concluímos que a série é convergente.
    2. \[ \sum^{+\infty}_{n=0} \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n+1},\]
      Solução
      Trata-se de uma série geométrica de razão $-2/3$ e primeiro termo $-2/3$ pelo que é convergente com soma $-\frac{2}{3}\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=-\frac{2}{5}$.
      A série dos módulos é geométrica de razão $2/3$, portanto convergente, justificando que a convergência é absoluta.
    3. \[\sum^{+\infty}_{n=0} \dfrac{(-1)^n}{3n+2}.\]
      Solução
      Comparando a série dos módulos com a série de Dirichlet $\sum^{+\infty}_{n=1} 1/n$ verificamos que a convergência absoluta não se verifica.
      A série é simplesmente convergente pois a sucessão de termo geral $1/(3n+2)$ é decrescente com limite $0$, o que permite usar o critério de Leibniz.
  5. Seja $h:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ uma função contínua, não negativa e tal que \[ \lim_{t\to+\infty}h(t)e^t=0.\] Mostre que $\lim_{x\to+\infty}\int_0^x h(t)\, dt$ existe em $\mathbb{R}$.
    Solução
    Como $ \displaystyle\lim_{t\to+\infty}h(t)e^t=0$, existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tal que, para $t\gt \alpha$, $h(t)e^t\lt 1$. Então temos, para $t\gt \alpha$, $0\leq h(t)\lt e^{-t}$. Portanto \begin{align*}0 \leq \int_0^x h(t)\, dt &= \int_0^\alpha h(t)\, dt + \int_\alpha^x h(t)\, dt \\ & \leq \int_0^\alpha h(t)\, dt  + \int_\alpha^x e^{-t}\, dt \\ & \leq \int_0^\alpha h(t)\, dt  + (e^{-\alpha}- e^{-x}) \\ & \leq \int_0^\alpha h(t)\, dt  + e^{-\alpha}.\end{align*} Assim verificamos que o integral indefinido de $h$ é uma função crescente (visto $h\geq 0$)  limitada e consequentemente terá um limite finito quando $x\to +\infty$.

Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 01/12/2017 11:53:53.