Solução do 2º Teste, versão A, 2018/01/18

1. Calcule os limites

   1. $\lim_{x\to 1}\frac{1-e^{x-1}}{\frac{\pi}{4}-\arctg x}$,
      Solução:

      Temos $\lim_{x\to 1}1-e^{x-1}=0=\lim_{x\to 1}\frac{\pi}{4}-\arctg x$ pelo que usamos a regra de Cauchy para obter \[\lim_{x\to 1}\frac{1-e^{x-1}}{\frac{\pi}{4}-\arctg x}=\lim_{x\to 1} \frac{-e^{x-1}}{-\frac{1}{x^2+1}}=2.\]

   2. $\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^{x^2}\sen\frac{1}{t+1}\, dt}{1-\cos x}$.
      Solução:

      Pela continuidade do integral indefinido temos $\lim_{x\to 0}\int_0^{x^2}\sen\frac{1}{t+1}\, dt=\int_0^{0}\sen\frac{1}{t+1}\, dt=0$. Além disso $\lim_{x\to 0}1-\cos x=0$. A função $x\mapsto \int_0^{x^2}\sen\frac{1}{t+1}\, dt$ é diferenciável pelo teorema fundamental do cálculo e teorema de derivação da função composta. Daí usarmos a regra de Cauchy para calcular \[\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^{x^2}\sen\frac{1}{t+1}\, dt}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x \sen\frac{1}{x^2+1}}{\sen x}=2 \sen 1.\]
2. Calcule:
   1. $\int_{-1}^0 \frac{x^2}{2+x^3}\, dx$,
      Solução:

      \[\int_{-1}^0 \frac{x^2}{2+x^3}\, dx=\left.\left[\frac{1}{3}\log|2+x^3|\right]\right|_{x=-1}^{x=0}=\frac{1}{3}\log 2.\]

   2. $\int_1^4 e^{\sqrt{x}}\, dx$.
      Solução:

      Usando a substituição $t=\sqrt{x}$ e integração por partes obtém-se

      \[\int_1^4 e^{\sqrt{x}}\, dx=\int_1^2 2t e^t\, dt =\left. [2t e^t]\right|_{t=1}^{t=2}-\int_1^2 2e^t\, dt= 4e^2- 2 e - 2(e^2-e) = 2e^2 .\]

3. Calcule a área da região do plano limitada por linhas de equação \[x=0, \qquad x=\pi, \qquad y=x-\frac{\pi}{2}, \qquad y=\cos x.\]
   Solução:

   

   A área é dada por \begin{align*}& \int_0^{\pi/2}\cos x - \left(x-\frac{\pi}{2}\right)\, dx + \int_{\pi/2}^\pi \left(x-\frac{\pi}{2}\right) - \cos x \, dx \\ & = \left.\left[\sen x - \left(\frac{x^2}{2}-\frac{\pi}{2}x\right) \right]\right|_{x=0}^{x=\pi/2} + \left.\left[\left(\frac{x^2}{2}-\frac{\pi}{2}x\right) -\sen x \right]\right|_{x=\pi/2}^{x=\pi} \\ & = 1 - \left(\frac{\pi^2}{8}- \frac{\pi^2}{4}\right)- \left(\frac{\pi^2}{8}- \frac{\pi^2}{4}\right)+1=2+\frac{\pi^2}{4}.\end{align*}
4. 1. Decida quais das seguintes séries são convergentes e quais são divergentes:
      1. $\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\frac{1}{n^2}$,
         Solução:

         Como $\lim \cos\frac{1}{n^2}=1$ a série é divergente.
      2. $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{(-1)^n 3^{n+1}}{4^n}$.
         Solução:

         Trata-se de uma série geométrica de razão $-3/4$ e portanto convergente.

   2. Mostre que a série \[\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\log(n+1/n)-\log n\right)\] é convergente.

      [Sugestão: Use o teorema de Lagrange ou a regra de Barrow para estimar \[\log(n+1/n)-\log n\] para $n\in\mathbb{N}_1$.]

      Solução:

      \[0 \lt \log(n+1/n)-\log n = \int_n^{n+1/n}\frac{1}{x}\, dx \leq \frac{1}{n}\max_{x\in [n, n+1/n]}\frac{1}{x}=\frac{1}{n^2} \] pelo que podemos comparar com a série $\sum\frac{1}{n^2}$ que é convergente.

      ou

      Do Teorema de Lagrange aplicado à função $\log$ no intervalo $[n,n+1/n]$, sabemos que existe $c_n\in{]n,n+1/n[}$ tal que \[\frac{\log(n+1/n)-\log n}{1/n}=\frac{1}{c_n}.\] Logo, \[\log(n+1/n)-\log n=\frac{1}{nc_n}\leq\frac{1}{n^2}.\]

5. Seja $h:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ uma função contínua tal que $\lim_{t\to +\infty}h(t)=1$.

   1. Mostre que $\lim_{x\to\infty}\int_x^{2x} h(t)\, dt= +\infty$.
      Solução:

      Da definição de limite existe $c\gt 0$ tal que para $t\gt c$ temos $h(t)\gt 1/2$. Então, para $x\gt c$, \[\int_x^{2x} h(t)\, dt\gt \int_x^{2x}1/2\, dt=\frac{x}{2}\to + \infty\] pelo que $\int_x^{2x} h(t)\, dt\to + \infty$.

   2. Calcule \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_x^{2x} h(t)\, dt}{x}. \]
      Solução:

      Usando a regra de Cauchy \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_x^{2x} h(t)\, dt}{x} = \lim_{x\to+\infty} 2 h(2x)- h(x) = 1.\]