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Cálculo Diferencial e Integral I

Exercícios

O número de soluções disponíveis no novo formato é pequeno. Poderá querer consultar a versão anterior.

Funções

  1. Determine funções inversas das seguintes funções, especificando os respectivos domínios (e contradomínios):

    1. $f(x)= e^{x^2-2}$, $x\gt 0$,
    2. $f(x)= 2\sen x$, $x\in \left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$,
      Solução

      A função $\arcsen$ é a inversa da restrição da função $\sen$ ao intervalo $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ onde o $\sen$ é uma função injectiva com contradomínio $[-1,1]$. Daí que a função $f$ seja injectiva em $\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$ com contradomínio $]-2,2[$ e tenha uma inversa $f^{-1}:{]-2,2[}\to {\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[}$ definida por $f^{-1}(x)=\arcsen\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

      Gráficos da função e da sua inversa. Note a simetria.
      Sugestão

      Resolva o mesmo exercício mas supondo que $f$ está definida pela mesma fórmula mas com $x\in {\left]\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}\right[}$.

    3. $f(x)=\sen \left(\dfrac{x}{2}\right)$, $x\in {]-{\pi},{\pi}[}$,
    4. $f(x)=\cos(2x)$, $x\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$,
    5. $f(x)=\tg(x-1)$, $x\in \left]1-\dfrac{\pi}{2},1+\dfrac{\pi}{2}\right[$.

  2. Identifique $\arcos 0$, $\arcos 1$, $\arcos\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $\arcsen\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $\arcsen\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\arcos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $\arcsen\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\arctg 1$, $\arctg(-\sqrt{3})$.

  3. Exprima as soluções da equação $\sen x =a$ em termos de $\arcsen a$. Faça o mesmo para a equação $\cos x=a$ em termos de $\arcos a$ e para $\tg x=a$ em termos de $\arctg a$.

  4. Deduza as seguintes identidades:

    1. $\cos(\arcos x)=x$,
    2. $\sen (\arcsen x)=x$,
    3. $\cos(\arcsen x)=\sqrt{1-x^{2}}$,
      Sugestão

      Use a fórmula fundamental da trigonometria para telacionar $\cos(\arcsen x)$ com $\sen(\arcsen x)$... Decida qual o sinal da raíz quadrada que obtém em função da definição do $\arcsen$.

      Solução

      A igualdade $\alpha =\arcsen x$ significa que $\sen \alpha = x$ e $\alpha\in [-\pi/2, \pi/2]$. Da forma forma fundamental da trigonometria temos $\cos^2\alpha + \sen^2\alpha=1$, isto é, $\cos^2(\arcsen x) + x^2=1$ donde $\cos(\arcsen x)=\pm\sqrt{1-x^2}$. Mas, como no intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$ o $\cos$ é sempre positivo, $\cos(\arcsen x)=\sqrt{1-x^2}$.

    4. $\sen(\arcos x)=\sqrt{1-x^{2}}$,
    5. $\tg(\arcsen x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ para $x\neq \pm 1$,
    6. $\tg(\arcos x)=\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$, para $x\neq 0$,
    7. $\cos(2\arcos x)=2x^{2}-1$,
    8. $\cos(2\arcsen x)=1-2x^{2}$,
    9. $\sen(2\arcsen x)=2x\sqrt{1-x^{2}}$.

  5. Seja $f:D\to \mathbb{R}$ uma função injectiva e $g:f(D)\to D$ a sua inversa (ou seja, $g(y)=x$ sse $y=f(x)$, para quaisquer $x\in D$, $y\in f(D)$). Mostre que:

    1. Se $f$ é crescente (resp. decrescente), então $g$ é crescente (resp. decrescente).
    2. Se $f$ é ímpar, então $g$ é ímpar.
    3. $\arcsen$, $\arctg$ são crescentes e ímpares, $\arcos$ é decrescente.

  6. Esboçe os gráficos de $\arcsen$, $\arcos$, $\arctg$ a partir dos gráficos de $\sen$, $\cos$ e $\tg$.

  7. Determine o domínio das funções seguintes:

    1. $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}$,
    2. $f(x)= \dfrac{1}{\cos^2x}+\dfrac{1}{\sen^2x}$,
    3. $f(x)=\tg x + \operatorname{cotg} x$,
    4. $f(x)=\log(\log x)$,
    5. $f(x)= \log(1-x^{\frac{3}{2}})$,
    6. $f(x)=\arctg\left( \dfrac{1}{1-x^2}\right)$,
    7. $f(x)= \arcos\left( \dfrac{1}{x}\right)$,
      Solução

      Devemos ter $x\neq 0$ e $1/x$ no domínio do $\arcos$. Como o domínio do $\arcos$ é $[-1, 1]$ tal corresponde a $x\in{]-\infty, -1]}\cup {[1,+\infty[}$. Daí o domínio de $f$ é ${]-\infty, -1]}\cup {[1,+\infty[}$.

    8. $f(x)= \arcsen(e^x)$,
    9. $f(x)=\log(1-\arcsen x)$.
      Solução

      A função $\arcsen$ tem domínio em $[-1, 1]$ pelo que o domínio desta função terá de ser um subconjunto de $[-1, 1]$. O domínio do logaritmo é $]0,+\infty[$ pelo que devemos ter $1-\arcsen x\gt 0$. Tal equivale a $-1\leq x\lt \sen 1$. Como $0\lt \sen 1 \lt 1$ concluímos que o domínio da função é $[-1, \sen 1[$.

  8. (Exercício 3.17 de [2]) Mostre que se $(u_n)$ é uma sucessão monótona, $(\arctg u_n)$ é uma sucessão convergente.

    Sugestão

    Use propriedades da função $\arctg$ para estabelecer que a sucessão é monótona e limitada.

  9. Mostre, recorrendo à definição de continuidade, que as funções definidas em $\mathbb{R}$ por $f(x)=x^{2}+1$ e $g(x)=|x|$ são contínuas em qualquer $x\in\mathbb{R}$.

  10. Seja $(x_n)$ uma sucessão real, com $\lim x_n=1$, $x_n\gt 1$ para qualquer $n\in \mathbb{N}$. Calcule, se existir, $\lim f(x_n)$ nos casos seguintes:

    1. $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $x\neq 0$.
    2. $f(x)= \log x$, $x\gt 0$.
    3. $f(x) = \dfrac{1}{x-1}$, para $x\neq 1$.

  11. (Exercício 3.5 de [2]) Seja $\phi : [a,b]\to \mathbb{R}$ uma função contínua (com $a,b\in\mathbb{R}$ e $a\lt b$). Supondo que existe uma sucessão $(x_{n})$ de termos em $[a,b]$ tal que $\lim \phi(x_{n})=0$, prove que $\phi$ tem pelo menos um zero em $[a,b]$.

  12. (Exercício 3.14 de [2]) Sendo $g:[0,1]\to \mathbb{R}$ uma função contínua, mostre que:
    1. Não existe nenhuma sucessão $(x_{n})$ de termos em $[0,1]$ tal que $g(x_{n})=n$ para todo o $n\in \mathbb{N}_1$.
    2. Se existir uma sucessão $(x_{n})$ de termos em $[0,1]$ tal que $g(x_{n})=\dfrac{1}{n}$ para todo o $n\in \mathbb{N}_1$, então existe $c\in [0,1]$ tal que $g(c)=0$.

  13. (Exercício III.2 de [1]) Para cada uma das funções definidas pelas expressões seguintes, determine os pontos de continuidade e descontinuidade:

    1. $\dfrac{x+1}{x^3+x}$;
    2. $\dfrac{x+1}{x^4+3x^3+2x^2}$;
    3. $\sqrt{x}-\dfrac{1}{x^2+x} $;
    4. $\sen\left( \cos\sqrt{1-x^2}\right)$;
    5. $ \cos\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;
    6. $ \sqrt[3]{\tg 2x-\operatorname{cotg} 2x}$;
    7. $ \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3-1}}$;
    8. $ \dfrac{|x^2-1|}{x^2-1}$;
    9. $\sqrt{-\sen^2x} $.

  14. (Exercício 3.15 de [2]) Sendo $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função contínua no ponto $1$, em que ponto(s) será necessariamente contínua a função $g(x)=f(\sen x)$? Justifique.

  15. Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uma função contínua no ponto $0$. Em que ponto(s) será necessariamente contínua a função $g(x)=f(\tg x-\operatorname{cotg} x)$?

    Comentário

    Relembra-se que $\operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sen x}$.

    1. Mostre que se uma função é contínua em $\mathbb{R}$ e nula em todos o racionais, então a função é identicamente nula (ou seja, $f(x)=0$, para qualquer $x\in\mathbb{R}$).
    2. Se $f$ e $g$ estão definidas em $\mathbb{R}$ e coincidem nos racionais, têm que coincidir em $\mathbb{R}$? E se, por hipótese, ambas são contínuas?

  17. Mostre que a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $f(x)=xd(x)$, em que $d:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é a função de Dirichlet, é apenas contínua em $x=0$.

  18. Mostre que se $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ é contínua em $a$ e $f(a)\gt 0$, então existe uma vizinhança de $a$, $V_{\varepsilon}(a)$ com $\varepsilon>0$, tal que \[\forall_{x\in\mathbb{R}} \quad x\in V_{\varepsilon}(a)\Longrightarrow f(x)\gt 0.\]

  19. Use a definição de limite de função em $\overline{\mathbb{R}}$ para mostrar que

    1. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty$,
    2. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$,
    3. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty$.

  20. Determine, se existir, cada um dos seguintes limites, justificando o cálculo ou a não existência de limite.

    1. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}-1}$,
    2. $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{2}-1}$,
    3. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$,
    4. $\displaystyle \lim_{x\to 0} x^{2}\left(1-\cos\frac{1}{x}\right)$,
    5. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\sen \dfrac{1}{x}$,
    6. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\sen \dfrac{1}{x}$,
    7. $\displaystyle \lim_{x\to 0}x\sen \dfrac{1}{x}$.

  21. (Exercício 3.20 de [2]) Calcule

    1. $\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-x}{x^2-3x +2}$,
    2. $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tg 5x}{x\arcos x}$.
  22. O gráfico de uma função real de variável real está contido na circunferência de raio $1$ centrada em $(0,0)$. Em que pontos é que a função é necessariamente contínua?

  23. (Exercício 3.18 de [2]) Suponha que para todo o $n\in\mathbb{N}_1$, a função $f$ verifica a condição

    \[ f\left(-\dfrac{1}{n }\right)=1-f\left(\dfrac{1}{n }\right). \]

    Se existirem os limites laterais $f(0^-)$ e $f(0^+)$ quanto valerá a sua soma? Se existir $\lim_{x\to 0} f(x)$ qual será o seu valor? Justifique abreviadamente as respostas.

  24. (Exercício 3.26 de [2]) Considere $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ definida por \[ f(x)=\dfrac{x+|x|}{2}\,d(x), \] onde $d:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ designa a função de Dirichlet.

    1. Indique o contradomínio de $f$. A função é majorada? E minorada?
    2. Estude $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ e $\lim_{x\to +\infty} f(x)$.
    3. Em que pontos é $f$ contínua?

  25. (Exercício 3.27 de [2]) Seja $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, contínua no ponto $1$, dada por

    \[ f(x)=\begin{cases} 0,&\text{se $x\leq -1$,}\\ \arcsen x, &\text{se $-1\lt x\lt 1$,} \\ K\sen\left(\dfrac{\pi}{2}x\right),&\text{se $x\geq 1$.}\end{cases}\]
    1. Determine $K$.
    2. Estude $f$ do ponto de vista da continuidade.
    3. Indique o contradomínio de $f$ e se tem supremo, ínfimo, máximo, mínimo.
    4. Quais são os limites $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ e $\lim_{x\to +\infty}f(x)$, caso existam?

  26. (Exercício 3.34 de [2]) Considere a função $\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por:

    \[ \varphi(x)=\begin{cases} \arctg \dfrac{1}{x}&\text{se $x\lt 0$,}\\ 1+e^{1-x} &\text{se $x\geq 0$.} \end{cases} \]
    1. Mostre que $\varphi$ é contínua em qualquer ponto de $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
    2. Calcule os limites laterais de $\varphi$ no ponto $0$, e indique, justificando, se $\varphi$ é contínua, contínua à direita ou contínua à esquerda nesse ponto.
      Comentário

      Por definição, uma função é contínua à esquerda (resp. direita) num ponto $a$ do seu domínio $D$, sse a sua restrição a ${]-\infty,a]}\cap D$ (resp. ${[a,+\infty[} \cap D$) é contínua em $a$).

    3. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\varphi(x)$.
    4. Indique, justificando, o contradomínio de $\varphi$.

  27. (Exercício 3.29 de [2])

    1. Estude, quanto à continuidade em cada ponto do seu domínio, as funções definidas em $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ pelas fórmulas: \[ \varphi(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}},\qquad \psi(x)=x\sen\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}. \]
    2. Indique, justificando, se cada uma das funções $\varphi$ e $\psi$ é prolongável por continuidade ou descontínua no ponto $0$.
    3. Mostre que $\phi$ e $\psi$ são funções limitadas.

  28. (Exercício 3.32 de [2]) Considere a função $f$ definida por $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-1}$.

    1. Indique, sob a forma de uma reunião de intervalos disjuntos, o domínio de $f$.
    2. Calcule \[\lim_{x\to+\infty}f(x)\,\quad \lim_{x\to 1^-}f(x)\,\quad \lim_{x\to 1^+}f(x).\]
    3. Justificando abreviadamente a resposta, indique o contradomínio de $f$.
    4. Dê exemplos de sucessões $(u_n)$ e $(v_n)$, de termos no domínio de $f$ tais que $(u_n)$ e $(f(v_n))$ sejam convergentes e $(v_n)$ e $(f(u_n))$ sejam divergentes.

  29. (Exercício 3.33 de [2]) Considere as funções $f$ e $g$ definidas em $]0,+\infty[$ pelas expressões \[ f(x)=\log\log (1+x),\qquad\qquad g(x)=\sqrt{x}\sen\dfrac{1}{x^{2}}. \]

    1. Estude $f$ e $g$ quanto à continuidade.
    2. Calcule $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ e $\lim_{x\to +\infty}g(x)$.
    3. Indique, justificando, se cada uma das funções é prolongável por continuidade ao ponto $0$.
    4. Indique, justificando, o contradomínio de $f$.

  30. (Exercício 3.36 de [2]) Seja $f$, a função real definida por, \[ f(x)=\begin{cases} -e^{\frac{1}{x}},&\text{se $x\lt 0$,}\\ \log\dfrac{1}{1+x^{2}}, &\text{se $x\gt 0$.} \end{cases} \]

    1. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)$.
    2. Justifique que $f$ é contínua em todo o seu domínio.
    3. Mostre que $f$ é prolongável por continuidade ao ponto $0$.
    4. Sendo $g$ a função que resulta de $f$ por prolongamento por continuidade ao ponto $0$, justifique que $g$ tem máximo e mínimo em qualquer intervalo da forma $[-\varepsilon,\varepsilon],$ com $\varepsilon>0$. Indique, justificando, o valor de $\max\{g(x): x\in [-\varepsilon,\varepsilon]\}$.
  31. (Exercício 3.40 de [2])
    1. Sendo $g:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ contínua no seu domínio, mostre que a função $\varphi(x)=g(1-x^2)$ tem máximo e mínimo.
    2. Se na alínea anterior considerássemos $g$ definida e contínua em $]0,+\infty[$ poderíamos continuar a garantir para $\varphi$ a existência de máximo e mínimo? Justifique.
  32. (Exercício 3.43 de [2]) Sejam $a,b\in\mathbb{R}$ e $g:{]a,b[}\to \mathbb{R}$ uma função contínua em $]a,b[$ tal que $\lim_{x\to a}g(x)=-\lim_{x\to b}g(x)=-\infty$. Mostre que existe uma e uma só função contínua $h$, definida em $[a,b]$ e tal que $h(x)=\arctg\left[g(x)^2\right]$ para $x\in{]a,b[}$. Determine o seu contradomínio.

  33. (Exercício III.11 de [1]) Mostre que a equação $\sen^3x+\cos^3x=0$ tem pelo menos uma raiz no intervalo $]0,\pi[$.

  34. (Exercício III.15 de [1]) Considere uma função $f$, contínua em $\mathbb{R}$, e suponha que existem e são finitos os limites $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ e $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$.

    1. Prove que $f$ é limitada.
    2. Supondo que o produto dos dois limites indicados é negativo, indique justificando, o máximo da função $g(x)=\dfrac{1}{1+[f(x)]^2}$.
    Sugestão
    1. Use a definição de limite em $-\infty$ e em $+\infty$ para majorar e minorar a função em intervalos da forma $]-\infty,M[$ e $]N,+\infty[$ respectivamente. Use depois o teorema de Weierstrass para majorar e minorar a função no complementar da união daqueles dois intervalos.
    Solução
    1. Seja $\epsilon\gt 0$, $\alpha=\lim_{x\to-\infty}f(x)$ e $\beta=\lim_{x\to+\infty}f(x)$. Usando a definição destes limites obtemos que existem $M,N\in\mathbb{R}$ tais que para $x\lt M$ temos $f(x)\in V_\epsilon(\alpha)$ e para $x\gt N$ temos $f(x)\in V_\epsilon(\beta)$.
      Como $f$ é contínua, o teorema de Weierstrass aplicado a $f$ no intervalo $[M,N]$ garante que existem o mínimo e o máximo de $f$ em  $[M,N]$ e portanto existem $C_1,C_2\in \mathbb{R}$ tais que $C_1\leq f(x) \leq C_2$ para todo o $x\in [M,N]$.
      Coligindo a informação que recolhemos, verificamos que $\max (C_2, \alpha+\epsilon, \beta+\epsilon)$ é um majorante de $f$ em $\mathbb{R}$ e $\min (C_1, \alpha-\epsilon, \beta-\epsilon)$ é um minorante de $f$ em $\mathbb{R}$. Portanto $f$ é limitada.
    2. Suponha-se que $\alpha\lt 0$ e $\beta\gt 0$. Se considerarmos $\epsilon\lt \min(|\alpha|,\beta)$ obtemos no argumento da resolução da alínea anterior que, para $x\gt N$ temos $f(x)\gt 0$ e para $x\lt M$ temos $f(x)\lt 0$. Da mesma forma se $\alpha\gt 0$ e $\beta\lt 0$ garantimos a existência de dois pontos onde toma valores de sinais opostos. Considerando um intervalo cujos extremos são esses pontos e aplicando aí o teorema do valor intermédio a $f$, garantimos que existe um zero de $f$, designemo-lo $x_0$. Como temos sempre $g\leq 1$ e $g(x_0)=1$ concluímos que $\max g = 1$.

Bibliografia

  1. J. Campos Ferreira. Introdução à Análise Matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.
  2. Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico. Exercícios de Análise Matemática I/II, 2ª edição, 2005. IST Press, Lisboa.

Última edição desta versão: João Palhoto Matos, 04/08/2020 08:33:07.